KUANTIFIKASI

BAB I

PENDAHULUAN

A.     Latar Belakang Masalah

Logika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang shahih dan tidak shahih. Logika sering diterapkan dalam kehidupan sehari-hari dalam mengambil kesimpulan suatu keputusan, baik dalam dunia bisnis, teknologi, pemerintahan maupun dalam dunia hukum. Sehingga logika menjadi ilmu yang penting untuk dipelajari karena secara tidak sadar kita banyak mengunakan logika dalam keseharian kita.

Sebagai calon pendidik kita juga harus mempelajari logika, supaya kita mempunyai kemampuan mengambil kesimpulan dengan benar dan tepat. Konsep logika juga sering ditemukan dalam mata pelajaran, terutama pelajaran IPA dan Matematika.

Dalam logika terdapat materi kuantifikasi dimana materi kuantifikasi membahas mengenai cara mengubah bentuk kalimat dengan menggunakan kuantor, sehingga kami tertarik untuk membahas materi mengenai kuantifikasi.

B.     Rumusan Masalah

1. Apamacam-macam kuantor?

2. Bagaimana negasi kuantor?

C. Tujuan Penulisan

 1. Mengetahui macam-macam kuantor.

 2. Mengetahui negasi kuantor.

BAB II

PEMBAHASAN

           Telah dibicarakan bahwa apabila suatu kalimat terbuka, variabel-variabelnya diganti dengan konstan-konstan anggota semesta pembicaannya, maka di peroleh suatu pernyataan. Cara lain untuk mengubah suatu kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan adalah dengan menggunakan kuator. Ada dua macam kuartor yaitu kuartoe Eksistensial dan kuartor Universal.

Kuantor merupakan suatu ucapan yang dibutuhkan pada kalimat terbuka sedemikian sehingga mengubah kalimat terbuka tersebut. Ada dua macam kuantor yaitu kuantor Eksistensial dan kuantor Universal.

A.     Macam-macam Kuantor

           Kuartor yang paling sedikit harus ada satu anggota penyelesaian yang memenuhi sifat yang ditunjukan tetapi tidak menutup kemungkinan semua anggotanya memenuhi sifat yang ditunjukan. Ciri-ciri pernyataan kuartor eksistensial menggunakan kata : ada, beberapa, setidaknya satu dan lain-lain. Pernyataan kuartor eksistensial disimbolkan dengan Ǝx p(x), dimana Ǝx adalah kuartor eksistensialnya dan p(x) adalah pernyataan tunggalnya.

Suatu kuartor yang setiap anggota himpunan penyelesaiannya memenuhi sifat yang ditunjukan. Jika salah satu anggotanya tidak memenuhi sifat yang ditunjukan maka pernyataan tersebut menjadi salah. Ciri-ciri pernyataan kuartor universal adalah menggunakan kata: semua, setiap, seluruhnya dan lain-lain. Pernyataan kuartor universal disimbolkan dengan ∀x,(px) dimana ∀x adalah kuartor universalnya dan p(x)adalah pernyataan tunggalnya.

           Perhatikan kalimat terbuka x + 6 = 10 yang memberikan simbol D(x). Maka Ǝx d(x) diartikan ada x sedemikian x + 6 = 10 adalah satu pernyataan bernilai benar. Misal kalimat terbuka  dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan riil. Maka ∀x,(  berarti untuk semua x berlaku  adalah suatu pernyataan yang bernilai benar juga.

           Beberapa kalimat Ǝx(y=x+2), walaupun ada kalimat tersebut dibubuhi kuartor tetapi kalimat tersebut tidak termasuk dalam pernyataan. Hal ini dikarenakan pada kalimat tersebut tidak mempunyai nilai kebenaran. Berbeda dengan dua kalimat sebelumnya. Tetapi jika dibubuhi kuartor kembali sehingga menjadi kalimat (Ǝx)(Ǝy)(y=x+2), maka kalimat ini menjadi pernyataan. Hal ini dikarenakan mempunyai kalimat kebanaran (Ǝx)(Ǝ y)(y=x+2) pada kalimat ini dibaca ada bilangan x dan y sedemikian hingga berlaku y=x+2.

B.     Negasi Kuantor

Negasi kuantor adalah ingkaran kalimat “semua x bersifat p (x)” adalah “ada x yang tidak bersifat p (x) ” Ingkaran kalimat “ ada x yang bersifat q (x)” adalah “ semua x tidak bersifat q (x)”.

Ingkaran kuantor universal : ~(Ǝx) P(x) ≡ (∀x) ~P (x). Ingkaran dari “ada (beberapa/terdapat)……” ≡ semua (setiap)…. Tidak …

Contoh : 

1) p : Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap. Ǝ(x), P (x)

                   ~p : Semua bilangan prima  bukan bingan genap. ∀ (x), ~P(x)

                 2) p : Beberapa siswa SMA berumur kurang dari 17 tahun Ǝ(x), P (x)

                   ~p : Semua siswa SMA berumur lebih dari 17 tahun ∀ (x), ~P(x)

Ingkaran dari semua kuantor universal adalah kuantor eksistensial : ~∀ (x), ~P(x) ≡ Ǝ(x), ~P(x). Ingkaran dari “Semua (setiap)….” ≡ ada (beberapa)…. Yang tidak..

Contoh :

1) p : Semua bilangan asli adalah bilangan bulat. ∀(x), P(x)

 ~p : Ada bilangan asli yang bukan bilangan bulat. Ǝ (x), ~P(x)

2) p : Semua orang yang tinggal di desa A adalah petani. Ɐ (x) EA,P(x)

~p :Ada beberapa orang yang tinggal di desa A bukan seorang petani. Ǝ (x),~P(x)

Perhatikan kalimat “beberapa mahasiswa pandai”, pada kalimat ini dapat ditafsirkan sebagai ada sesuatu, suatu kalimat tersebut adalah mahasiswa dan sesuatu tersebut pandai. Jika dinyatakan menggunakan simbol dapat dinyatakan dengan (Ǝx)(mx) ʌp(x) dimana m adalah predikat untuk mahasiswa dan p adalah predikat untuk pandai. Berbeda dengan kalimat “semua mahasiswa adalah pandai”, pada kalimat ini dapat ditafsirkan semua x apabila x mahasiswa maka x pandai. Sehingga kalimat ini disimbolkan sebagai Ɐ(x)(m(x))→P(x).

         Sedangkan untuk kalimat tidak ada mahasiswa yang pandai, dapat ditafsirkan sebagai semua mahasiswa tidak pandai, atau semua x, apabila x mahasiswa maka x pandai. Sehingga bila dinyatakan dalam simbol logika adalah Ɐ(x)(m(x))→~P(x).

        Pernyataan kuantor universal yang disimbolkan dengan Ɐ x,P(x), dimana Ɐ x adalah kuantor universalnya dan P(x) adalah pernyataan tunggalnya, maka negasinya adalah pernyataan kuantor universal Ǝx, ~P(x). Sebagai contoh pernyataan “Semua bilangan prima adalah ganjil” maka negasi dari pernyataan tersebut adalah ada bilangan prima yang genap. Begitu pula dengan kalimat Ɐx ϵ R, x 2 – 1 ≥ 0 maka negasinya adalah ⱻx ϵ R,x2 - 1 < 0.

Begitu juga dengan pernyataan kuantor eksistensial disimbolkan dengan Ǝx P(x), dimana Ǝx adalah kuantor eksistensialnya dan P(x) adalah pernyataan tunggalnya, maka negasinya adalah pernyataan kuantor eksistensialnya adalah Ɐ x, ~P(x). Sebagai contoh beberapa siswa SMA berumur kurang dari 10 tahun, maka negasinya adalah semua siswa SMA berumur lebih dari atau sama dengan 10 tahun. Begitu juga dengan kalimat Ǝx ϵR, x²-1=0,, maka negasinya adalah Ɐx ϵR, x² -1 ≠ 0.

Latihan

Tentukan negasi dari pertanyaan berikut :

1.      Semua peserta didik Ujian Nasionak menginginkan lulus.

2.      Beberapa murid menganggap matematika sukar.

3.      Semua murid menganggap fisika mudah.

4.      Setiap akhir bulan Roni makan bakso.

5.      Beberapa bilangan proma tidak genap.

6.      Ada bilangan real yang tidak rasional.

7.      Semua murid bersuka ria.

8.      Beberapa siswa memakai topi warna hitam.

Jawaban .

1.        p : Semua peserta ujian menginginkan lulus.

~q : beberapa peserta

2.        p : Beberapa murid menganggap matematika sukar.

~q : Semua murid menganggap matematika mudah.

3.        p : Semua murid menganggap fisika mudah.

~q : Ada murid menganggap fisika sukar.

4.        p : Setiap akhir bulan roni makan bakso.

~q : Ada akhir bulan Roni tidak makan bakso.

5.        p : Beberapa bilangan prima tidak genap.

~q : Semua bilangan prima genap

6.        p : Ada bilangan real yang tidak rasional.  

~q : Setiap bilangan real rasional.

7.        p : Semua murid bersukaria.

~q : Beberapa murid tidak bersukaria.

8.        p : Beberapa siswa memakai topi warna hitam.

~q : Semua siswa memakai topi warna hitam.

BAB III

PENUTUP

A.     Kesimpulan 

Dari pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa cara lain untuk merubah suatu kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan adalah dengan menggunakan kuantor. Kuantor adalah suatu ucapan yang dibutuhkan pada kalimat terbuka sedemikian sehingga mengubah kalimat terbuka tersebut. Ada dua macam kuantor yaitu kuantor eksistensial dan kuantor universal. Pernyataan kuantor eksistensial disimbolkan dengan dimana ⱻx adalah kuantor eksistensialnya. Ciri-ciri pernyataan kuantor eksistensial menggunakan kata : ada, beberapa, setidaknya satu, dll. Pernyataan kuantor universal disimbolkan dengan Ɐ x, p(x) dimana Ɐ x adalah kuantor universalnya dan P(x) adalah pernyataan tunggalnya. Ciri-ciri pernyataan kuantor universal adalah menggunakan kata : semua, setiap, seluruhnya, dan lain-lain.

B.     Saran

Semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan bagi pembaca, serta dapat memotivasi khususnya kita sebagai calon pendidik untuk terus belajar mengenai logika karena logika sering kita gunakan dalam kesehariaan kita.

DAFTARPUSTAKA

WidodoSriAdi,M.Pd.(2010).BahanAjarLogika.Yogyakarta